Vektorový súčin

Na rozdiel od skalárneho súčinu, vektorový súčin (po anglicky cross product) je definovaný len v troch rozmeroch. Matematická definícia je:

$$A \times B = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$$

Výsledkom vektorového súčinu je vektor, ktorý je kolmý na oba vektory a jeho dĺžka je rovná obsahu štvoruholníka $((0,0), A, A+B, B)$. Existujú dva opačné vektory s takouto dĺžkou ($A \times B = - B \times A$). Ak chceme zistiť, ktorý z nich je výsledkom súčinu, použijeme pravidlo pravej ruky. Ukazovák ukazuje v smere prvého vektora, prostredník v smere druhého a palec bude ukazovať v smere vektorového súčinu.

Špeciálne ak sú pôvodné vektory lineárne závislé (jeden je násobkom druhého), výsledkom vektorového súčinu je nula (t.j. vektor $(0,0,0)$).

Ak potrebujeme vektorovo vynásobiť dvojrozmerné vektory $A = (a_1, a_2)$ a $B = (b_1, b_2)$, jednoducho vektorovo vynásobíme trojrozmerné vektory $A'$ a $B'$, ktoré majú prvé dve súradnice rovnaké ako $A$ a $B$ a tretiu súradnicu majú nulovú:

$$(a_1, a_2, 0) \times (b_1, b_2, 0) = (0, 0, a_1b_2-a_2b_1)$$

Zaujímavá je orientovaná dĺžka výsledného vektora, čiže $a_1 b_2-a_2 b_1$. Keď hovoríme o vektorovom súčine ako o čísle, máme na mysli práve túto hodnotu: $a_1 b_2-a_2 b_1$.

Na čo je teda vektorový súčin dobrý? Opäť ním dokážeme zistiť niečo o uhle medzi vektormi.

$$||A \times B|| = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \sin\theta$$

Ak sú vektory kolineárne, výsledok je $0$. Ak je $A$ "naľavo" od $B$, ich vektorový súčin je kladný, a ak je $A$ "napravo" od $B$, je ich vektorový súčin záporný (čiže $A\times B = -B\times A$). Vďaka tomu vieme zisťovať, či daný bod leží na danej priamke, či je bod vo vnútri konvexného $n$-uholníka, či sa dve úsečky pretínajú, či je bod vo vnútri ľubovoľného $n$-uholníka a mnoho ďalších vecí.

Napríklad:

  • Máme daný bod $X$ a priamku prechádzajúcu bodmi $YZ$ a máme zistiť, či sa bod nachádza na priamke, naľavo od nej alebo napravo od nej (keď sa pozeráme v smere z $Y$ do $Z$). Spočítame $(Z-Y)\times(X-Y)$. Ak vyjde 0, bod leží na priamke. Ak vyjde kladné číslo, bod $X$ je naľavo, ak vyjde záporné číslo, bod je napravo.

  • Máme daný bod $X$ a konvexný $n$-uholník s vrcholmi $Y_1,\dots, Y_n$ a máme zistiť, či je bod vo vnútri $n$-uholníka. $n$-uholník je konvexný, ak má každý jeho vnútorný uhol menej ako $180^{\circ}$. Spočítame $z_i = (Y_{i+1}-Y_i)\times(X-Y_i)$ (pričom $Y_{n+1} = Y_1$). Ak sú všetky hodnoty kladné, alebo všetky záporné, tak je bod $X$ vo vnútri. Ak si predstavíme, že sme predĺžili každú stranu $n$-uholníka na priamku, hodnoty $z_i$ nám hovoria o tom, či je bod od daných priamok napravo alebo naľavo. No a na to, aby sa bod $X$ nachádzal vo vnútri, musí sa nachádzať napravo od každej z priamok, alebo naľavo od každej z nich.

  • Máme dané dve úsečky $XY$ a $ZW$ a máme zistiť, či sa pretínajú. Overíme, či úsečka $XY$ pretína priamku $ZW$ a úsečka $ZW$ pretína priamku $XY$. Overenie prvej podmienky spravíme napríklad tak, že sa pozrieme na vektorové súčiny $(X-Z)\times(W-Z)$ a $(Y-Z)\times(W-Z)$. Tieto musia mať opačné znamienka, resp. ich súčin musí byť záporný.

  • Máme daný bod $X$ a ľubovoľný $n$-uholník s vrcholmi $Y_1,\dots, Y_n$ a máme zistiť, či je bod vo vnútri $n$-uholníka. Ak je bod $X$ vo vnútri, každá polpriamka, ktorá v ňom začína pretína $n$-uholník nepárny počet krát. Ak je $X$ vonku, tak je počet pretnutí vždy párny. Takže pomocou vektorového súčinu spočítame priesečníky nejakej polpriamky s hranami $n$-uholníka. Treba si však dávať pozor na prípady, kedy vrcholy $n$-uholníka ležia na priamke.

  • Máme daný trojuholník pomocou bodov $A$, $B$, $C$ a chceme spočítať jeho obsah. Tu využijeme to, že dvojrozmerné vektory vieme preniesť do trojrozmerného priestoru pridaním nulových súradníc. Potom je výsledok $||(A - C) \times (B - C)||/2$. Špeciálne, keď je jeden z bodov (povedzme $C$) nulovým ­— $(0, 0)$, tak výsledok je $|a_1 b_2-a_2 b_1| / 2$.

Späť Ďalej