Skalárny súčin

Skalárny súčin (po anglicky dot product) je operácia na dvoch $n$-rozmerných vektoroch. Výsledkom tejto operácie je číslo (čiže skalár, nie vektor). Skalárny súčin označujeme bodkou. Nech $A = (a_1, \dots, a_n)$ a $B = (b_1, \dots, b_n)$ sú vektory. Potom

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$$

Pre dvojrozmerné vektory je ich skalárny súčin $A\cdot B = a_1b_1 + a_2b_2$.

Zároveň, keď $\theta$ je uhol, ktorý zvierajú vektory $A$ a $B$, tak platí

$$A \cdot B = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos\theta$$

kde $||X||$ označuje dĺžku vektora $X$.

Skalárnym súčinom vieme zisťovať dĺžku vektora ($A\cdot A = ||A||^2$), vieme overovať, či sú dva vektory kolmé (práve vtedy, keď $A\cdot B = 0$) a rozhodovať, či kolineárne vektory (také, ktoré ukazujú rovnakým alebo presne opačným smerom) ukazujú rovnakým alebo opačným smerom (podľa znamienka skalárneho súčinu). Skalárny súčin sa dá využiť aj pri výpočte vzdialenosti bodu od priamky alebo na nájdenie päty kolmice na danú priamku vedúcu cez daný bod.

Napríklad:

• Máme body $X,Y,Z$ ležiace na jednej priamke a máme zistiť, či bod $Z$ leží na úsečke $XY$. Stačí spočítať $w = (X-Z)\cdot(Y-Z)$. Ak nám vyjde záporné $w$, bod $Z$ leží vo vnútri úsečky. Ak kladné, bod leží mimo úsečky. Ak je $w$ nula, $Z$ je totožný s jedným z bodov $X,Y$.